Giới hạn Bảng Ghi Chú
Thuộc Tính Giới Hạn
\mathrm{If\:the\:limit\:of\:f(x),\:and\:g(x)\:exists,\:then\:the\:following\:apply:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
Thuộc Tính Giới Hạn Tới Vô Cực
\mathrm{For}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{the\:following\:apply:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:là\:số\:chẵn} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:là\:một\:số\:lẻ} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
Giới Hạn Chung
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
Quy Tắc Giới Hạn
Giới hạn của một hằng số
\lim_{x\to{a}}{c}=c
Giới hạn cơ bản
\lim_{x\to{a}}{x}=a
Định lý ép
\mathrm{Gọi\:f,\:g\:và\:h\:là\:các\:hàm\:sao\:cho\:mọi}\:x\in[a,b]\:\mathrm{(ngoại\:trừ\:có\:thể\:tại\:tọa\:độ\:giới\:hạn\:c),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{Cũng\:giả\:sử\:như\:vậy,}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{Sau\:đó\:cho\:bất\:kỳ\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
Quy tắc L'Hopital
\mathrm{Cho}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{nếu}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{hoặc}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{thì}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
tiêu chí phân kỳ
\mathrm{Nếu\:hai\:chuỗi\:tồn\:tại,}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:và\:}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:với\:}
x_n\ne{c}\mathrm{\:và\:}y_n\ne{c}
\lim_{n\to\infty}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{y_n}=c
\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}\ne\lim_{n\to\infty}{f(y_n)}
\mathrm{Thì\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:không\:tồn\:tại}
Quy tắc chuỗi giới hạn
\mathrm{Nếu}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{và}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{và}\:f(x)\:\mathrm{liên\:tục\:tại}\:x=b
\mathrm{Thì:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
Đại số
